ガウス消去法(III) ピボット選択　（オプション）

ピボット選択のあるガウス消去法を使って、$Ax=b$の計算法を考える。

Aの第i列の対角成分以下の要素を消去する前に、第$i$列の対角以下の成分から絶対値の一番大きい行を選んで、その行を第$i$行を交換してから、 成分の消去を行う。

行の交換に対応する行列を$P_i$にして、消去作業に対応する行列を$E_i$とすると、以下の分解が分かる。

$$ E_{n-1} (E_{n-2}P_{n-2}) \cdots (E_1 P_1) [A|b] = [U|\tilde{b}] $$

次に、$U$と$\tilde{b}$を使って、連立方程式の解を計算する。すなわち、

$$ Ux=\tilde{b} $$

演習１

以下の行列に対して、ピボット選択を行い、連立一次方程式を解いてください。

$$ A= \left( \begin{array}{cccc} 0& 1 & -2 & 3\\ 2 & 0 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & 5& 2\\ 1 & -1 & 2 & 1 \end{array} \right) , \quad b= \left( \begin{array}{} -1 \\ 23 \\ 32 \\ 10\end{array} \right) $$

In [11]:
A=[0 1 -2 3; 2 0 4 1; 3 0 5 2;1 -1 2 1];
b=[-1,23,32,10]'

b =

   -1
   23
   32
   10

演習2

演習１の行列$A$に対して、ピボット選択のあるLU分解を求めてください。すなわち、P、L、Uをそれぞれを求めること。

(行列の演算を利用してP、L、Uを求めてもよい。)

$$ PA =LU $$

ヒント：この分解の中のPは$P=P_{n-2}P_{n-1}\cdots P_{1}P_{1}$である。

In [7]:
A=[0 1 -2 3; 2 0 4 1; 3 0 5 2;1 -1 2 1];