1. 線形変換(線型写像)

以下の性質を持っている変換 $f$ が線形変換となります。

線形変換の定義から以下のことが分かります。

2. 線形変換の表現行列

関数空間の基底における変換の像を利用して、線形変換$f(x)$の表現行列を求めることができます。

$R^2$空間の基底 $\{e_1, e_2\}$ を考えます。

$$ e_1=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), \quad e_2=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) $$ $$ f_1=\left( \begin{array}{c} -\frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{array} \right) $$ $$ f_2=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{array} \right) $$

よって、任意の点

$$ \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = x\cdot e_1 + y\cdot e_2 $$

の$y=2x$に関する反射点は

$$ (x',y')=f\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = x\cdot f(e_1) + y\cdot f(e_2) = x \cdot f_1 + y \cdot f_2 $$

です。

即ち、

$$ (x',y') = \left( \begin{array}{rl} f_1 & f_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) $$

ですので、直線$y=2x$に関する反射変換は以下の式で現れます。

$$ \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) $$

2. アフィン変換

平面上の点に関する線形変換+平行移動はアフィン変換です。 平行移動が含まれるので、アフィン変換は線形変換ではない。

ファイン変換の中の回転と平行移動の順番ば重要です。以下の二つのアフィン変換は異なる変換です。

$$ \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right) = A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array}\right) $$ $$ \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right) = A \left( \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array}\right) \right) = A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) + A \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array}\right) $$

補足:

Octaveの中の行列とベクトルの足し算について、数学での定義により自由に使えます。以下の例の計算結果を観察して、行列とベクトルの足し算のやり方を確認してください。