多項式による曲線の表現: ベジェ曲線

CADなどの分野では、滑らかな曲線または曲面を表現するために、多項式が多く使用される。

コンピュータで使用される文字のフォントも多項式で現れている。

今回の授業では、バーンスタイン多項式(Bernstein polynomial)を紹介して、ベジェ曲線(Bezier curve)の作成方法を学ぶ。

1. バーンスタイン多項式の定義

$n$ 次バーンスタイン基底関数は次のように定義される。

$$ B_{i,n}(x) = {n \choose i} x^{i} (1-x)^{n-i}, \qquad i=0,\ldots,n. $$

ここで ${n \choose i}$ は二項係数として与えられる。

$\{1,x,x^2,\cdots, x^n \}$は$n$次多項式空間(ベクトル空間)の基底となることはよく知られている。 $n$次バーンスタイン基底関数も$n$次の多項式空間の基底となっている。 即ち、任意の$n$次多項式$B(x)$は基底関数$B_{i,n}(x)$の線形結合によって与えられる。

$$ B(x) = \sum_{i=0}^{n} C_{i} b_{i,n}(x) $$

上記の式で書かれている多項式は$n$ 次のバーンスタイン多項式と呼ばれる。 係数 $C_i$ はバーンスタイン係数、またはベジェ係数と呼ばれる。

演習1:バーンスタイン多項式の例

$$ B_{0,3} = (1-x)^3 , \quad B_{1,3} = 3x(1-x)^2, \quad B_{2,3} = 3x^2(1-x) , \quad B_{3,3} = x^3 $$ $$ f(x)=B_{0,3}(x) + B_{1,3}(x) + B_{2,3}(x)+ B_{3,3}(x) = \sum_{i=0}^{3} B_{i,3}(x) $$$$ g(x)=0\cdot B_{0,3}(x) + \frac{1}{3}B_{1,3}(x) + \frac{2}{3}B_{2,3}(x) + \frac{3}{3} B_{3,3}(x) = \sum_{i=0}^{3}\frac{i}{3} B_{i,3}(x) $$

補足

plot関数を使って、多数のグラフを一括で描画することができる。

plot( x1_list, y1_list, option_1,  x2_list, y2_list, option_2, ... )

一般的な $n$ 次バーンスタイン多項式

以下の式の展開式を確認してください。

$$1^n=(x+(1-x))^n = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!} x^i(1-x)^{n-i} $$

以下の関数Bernstein(i,n,x)は一般的な$n$次バーンスタイン多項式を表している。特に、階乗の関数はfactorial()である。即ち、

$$ \mbox{factorial}(n) = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n $$

バーンスタイン多項式の性質

演習2

$$B'_{0,n}(0)=-n, \quad B'_{1,n}(0)=n, \quad B'_{n-1,n}(1)=-n, \quad B'_{n,n}(1)=n $$

2. ベジェ曲線

ベジェ曲線(Bézier Curve)とは、$N$ 個の制御点から得られる N − 1 次曲線である。

$$ f(x) = \sum_{i=0}^{N} C_{i} b_{i,N}(x) $$

ここで、$C_{i}$は制御点またはコントロール点と呼ばれる。

制御点の実際の座標は以下のようになる。

$$ (0, C_0) ,~~ (\frac{1}{N}, ~~ C_1) , ~~ \cdots, ~~ (\frac{i}{N}, C_i) , ~~ \cdots, ~~ (1, C_N) , $$

3次ベジェ曲線の例

3次ベジェ曲線$B(x)$

$$ B(x) = C_0 B_{0,3}(x) + C_1 B_{1,3}(x) + C_2 B_{2,3}(x) + C_3 B_{3,3}(x) $$

の関数値と微分を計算してみます。

$$ B(0) = C_0, \quad B'(0) = 3 (C_1 - C_0), \quad B(1) = C_3, \quad B'(1) = 3(C_3- C_2) $$

演習3

$$ C_0 = 0, C_1 = 2, C_2 = -1, C_3 = 0 $$

レポート課題1

ベジェ曲線の制御点を選んで、関数$y=sin(2\pi x)$ ($0\le x \le 1$)の良い近似ベジェ曲線を作成しなさい。

3. パラメータ曲線で現れるベジェ曲線

実際の応用では、2次元平面上の曲線を自由に表現するために、以下のパラメータ曲線で現れるベジェ曲線が使用される。

$$ F(t) = (X(t), Y(t)) $$

ここで、 $$ X(t) = X_0 B_{0,n}(t) + X_1 B_{1,n}(t) + \cdots + X_n B_{n,n}(t) = \sum_{i=0}^n X_i B_{i,n}(t) $$ $$ Y(t) = Y_0 B_{0,n}(t) + Y_1 B_{1,n}(t) + \cdots + Y_n B_{n,n}(t) = \sum_{i=0}^n Y_i B_{i,n}(t) $$ また、制御点は $$ P_0=(X_0,Y_0), \quad P_1 = (X_1,Y_1),\quad \cdots, \quad P_n=(X_n,Y_n) $$ となる。

ホームページにあるBezier曲線の補足資料(3次ベジェ曲線の例)を参考してください。

2次元平面上のベジェ曲線の例

制御点は以下のようにとる。 $$ P_0 = (0,0), P_1 = (0,1), P_0 = (2,-1), P_3=(3,0) $$

レポート課題2

ギリシャの文字$\alpha$をベジェ曲線で書いてください。