反復法の収束性

今回の授業では、Hilbert行列の例を利用して反復法の収束性を検討してみます。

1 準備

Hilbert行列を作成します。MATLABではhilb(n)という命令で$n\times n$のHilbert行列を作成することができます。

$$ H=( h_{ij})_{n \times n}, \quad h_{ij}=\frac{1}{j+j-1}\:. $$

Hilbert行列の性質を調べます。

2. 反復法で連立一次方程式を解く

SOR法を使って、Ax=bの解を求めてください。ここで、$b$のすべての成分を1とする。

以下のコードでは、SOR法が関数として定義されています。

特に、trilとtriuを使って、行列の下三角行列と上三角行列を取ることができます。

課題1

3. ガウス消去法で連立一次方程式を解く

ガウス消去法を使って、Ax=bの解を求めてください。ここで、$b$のすべての成分を1とする。

課題2

$N=3,4,5,6$の場合、Hilbert行列の条件数を調べて、近似解の誤差との関係を検討してみてください。