CADなどの分野では、滑らかな曲線または曲面を表現するために、多項式が多く使用される。
コンピュータで使用される文字のフォントも多項式で現れている。
今回の授業では、バーンスタイン多項式(Bernstein polynomial)を紹介して、ベジェ曲線(Bezier curve)の作成方法を学ぶ。
$n$ 次バーンスタイン基底関数は次のように定義される。
$$ B_{i,n}(x) = {n \choose i} x^{i} (1-x)^{n-i}, \qquad i=0,\ldots,n. $$
ここで ${n \choose i}$ は二項係数として与えられる。
$\{1,x,x^2,\cdots, x^n \}$は$n$次多項式空間(ベクトル空間)の基底となることはよく知られている。 $n$次バーンスタイン基底関数も$n$次の多項式空間の基底となっている。 即ち、任意の$n$次多項式$y(x)$は基底関数$B_{i,n}(x)$の線形結合によって与えられる。
$$ y(x) = \sum_{i=0}^{n} C_{i} B_{i,n}(x) $$
上記の式で書かれている多項式は$n$ 次のバーンスタイン多項式と呼ばれる。 係数 $C_i$ はバーンスタイン係数、またはベジェ係数と呼ばれる。
$$ B_{0,3} = (1-x)^3 , \quad B_{1,3} = 3x(1-x)^2, \quad B_{2,3} = 3x^2(1-x) , \quad B_{3,3} = x^3 $$
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#[0,1]の分割点を作成します。
x=np.linspace(0,1,101)
color_list = ["r","g","b","k"]
B = []
B.append( (1-x)**3 )
B.append( 3*x*(1-x)**2 )
B.append( 3*x**2*(1-x) )
B.append( x**3 )
for k in range(0,4):
plt.plot(x,B[k], color_list[k] )
plt.grid()
バーンスタイン多項式を基底として、基底の線型結合で得られる曲線を描いてみます。
多項式の例:
$$ y(x)= 1\cdot B_{0,3}(x) + 2\cdot B_{1,3}(x) + 3\cdot B_{2,3}(x)+ 1\cdot B_{3,3}(x) $$
特殊な多項式:
$$ f(x)=B_{0,3}(x) + B_{1,3}(x) + B_{2,3}(x)+ B_{3,3}(x) = \sum_{i=0}^{3} B_{i,3}(x) $$
$$ g(x)=0\cdot B_{0,3}(x) + \frac{1}{3}B_{1,3}(x) + \frac{2}{3}B_{2,3}(x) + \frac{3}{3} B_{3,3}(x) = \sum_{i=0}^{3}\frac{i}{3} B_{i,3}(x) $$
plot関数を使って、多数のグラフを一括で描画することができる。
plot( x1_list, y1_list, option_1, x2_list, y2_list, option_2, ... )
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#------------------ 曲線1 ------------------
c = [1,2,3,1]
y = 0
for k in range(0,4):
y += c[k]*B[k]
#------------------ 曲線2 ------------------
c = [1,1,1,1]
f = 0
for k in range(0,4):
f += c[k]*B[k]
#------------------ 曲線2 ------------------
c = [0,1/3,2/3,3/3]
g = 0
for k in range(0,4):
g += c[k]*B[k]
plt.plot(x,y,'-k', x,f,'-r',x,g,'-b')
plt.grid()
以下の式の展開式を確認してください。
$$ 1^n=(x+(1-x))^n = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!} x^i(1-x)^{n-i} = \sum_{i=0}^n B_{i,N}(x)\:. $$
$n$ 次バーンスタイン多項式の微分は以下の性質を持ってます。
$x=0$のとき、
$$ B'_{0,n}(0)=-n, \quad B'_{1,n}(0)=n, \quad B'_{2,n}(0)=\cdots = B'_{n,n}(0)=0 $$
$x=1$のとき、
$$ B'_{0,n}(1)=\cdots = B'_{n-2,n}(1)=0 , \quad B'_{n-1,n}(1)=-n, \quad B'_{n,n}(1)=n $$
以下の関数Bernstein(i,n,x)は一般的な$n$次バーンスタイン多項式の各関数を定義しています。特に、階乗の関数はfactorial()である。即ち、
$$ \mbox{factorial}(n) = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n $$
import math
def Bernstein(i,n,x):
value = math.factorial(n) / ( math.factorial(i) * math.factorial(n-i) )* x**(i) * (1-x)**(n-i)
return value
#演習1
#すべての多項式のグラフを描いてください。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#[0,1]の分割点を作成します。
x=np.linspace(0,1,101)
B_list = []
B_list.append(Bernstein(0,5,x))
plt.plot(x,B_list[0])
plt.grid()
ベジェ曲線(Bézier Curve)とは、、バーンスタイン多項式の線型結合で現れる曲線である。
$$ f(x) = \sum_{i=0}^{N} C_{i} B_{i,N}(x) $$
係数$c_i$に対して、点$P_i( {i}/{N}, C_{i})$が制御点または「コントロール点」と呼ばれる。
$$ P_0(0, C_0) ,~~ P_1(\frac{1}{N}, ~~ C_1) , ~~ \cdots, ~~ P_i(\frac{i}{N}, C_i) , ~~ \cdots, ~~ P_N(1, C_N) , $$
3次ベジェ曲線$B(x)$
$$ B(x) = C_0 B_{0,3}(x) + C_1 B_{1,3}(x) + C_2 B_{2,3}(x) + C_3 B_{3,3}(x) $$
の関数値と微分を計算してみます。
$$ B(0) = C_0, \quad B'(0) = 3 (C_1 - C_0), \quad B(1) = C_3, \quad B'(1) = 3(C_3- C_2) $$
$$ C_0 = 0, C_1 = 2, C_2 = -1, C_3 = 0 $$
C=[0,2,-1,0];
#曲線の描画
f=0;
x=np.linspace(0,1,101)
for k in range(0,4):
f = f+C[k]*Bernstein(k,3,x)
plt.plot(x,f,'b-')
#制御点の描画
plt.plot(np.linspace(0,1,4), C, 'r-o')
plt.grid()
ベジェ曲線の制御点を選んで、関数$y=\sin(2\pi x)$ ($0\le x \le 1$)の良い近似ベジェ曲線を作成しなさい。
#レポート課題 (ベジェ曲線の次数と制御点を調整して、Sin曲線のよい近似を作成してください。)
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x=np.linspace(0,1,101)
y=np.sin(2*math.pi*x)
plt.plot(x,y,'b-')
C=[0,4.,-4.,0];
f= 0;
for k in range(0,4):
f = f+C[k]*Bernstein(k,3,x)
plt.plot(x,f,'r-')
plt.grid()