数列への考察

計算機における計算によって、数列と数列の極限の概念を理解します。

  • 数列が収束する時、収束列の極限の確認と計算
  • 収束してない数列について、グラフで「発散」を確認すること。

復習 数列の極限の定義

$x$が数列$(x_n)$の極限であるとは、以下の条件が成り立つことをいう:
- 任意の実数$\epsilon> 0$に対して、ある自然数$N$が存在して、任意の自然数 $n>N$に対して、$|x_n-x| < \epsilon$が成り立つ。

1. 数列の単調性

数列の単調性を利用して、数列が収束しているがとうかを検討できます。

定理:

有界な単調数列は収束する。同じように、下界を持っている単調減少数列は収束する。

演習1

以下の2つ数列の単調性をグラフで確認しなさい。

  • 数列$a_n$ $$ a(n) = (1+\frac{1}{n})^{n} $$

  • 数列$b_n$ $$ b(n) = (1+\frac{1}{n})^{n+1} $$

補足:数列の作成方法

この演習での数列はfor文で作成できます。例えば、

a = [];
for k = 1:10
  a(k) = (1 + 1/k )^k;
end 

数列$a_n$の各成分とnの関係式を持っている場合、nによって$a_n$を一括で作成することができます。

n = 1:10;
a = (1 + 1 ./ n ) .^ n;

ここで、数列$n=1:10$の各成分によって、新しい数列を作成しています。特に、成分毎に計算する場合、演算子の前に、「.」を付けることが必要です。

In [ ]:
n=1:50;
b = (1 + 1 ./ n) .^ (n+1);
a = (1 + 1 ./ n) .^ (n);
hold on
plot(n,b,'b-o')
plot(n,a,'r-o')
grid on
set(gca, "fontsize", 5)

補足:線分のグラフの描画

A=(x1,y1)とB=(x2,y2)2つの端点を持っている線分を描画するために、x座標のリストとy座標のリストを利用してます。

x1=0; y1=0;
x2=5; y2=1;
x_list = [x1,x2];
y_list = [y1,y2];
plot( x_list, y_list, '-o') 
In [ ]:
x1=0; y1=0;
x2=5; y2=1;
x_list = [x1,x2];
y_list = [y1,y2];
plot( x_list, y_list, '-o')

演習1の補足

演習1のグラフに、(0,e), (50,e)という2つの端点を持っている線分を描いてください。

2. 発散する数列

  • 収束していない数列は「発散数列」と呼ぶ。

  • 発散数列は正の無限大へ発散することはいかのように定義できます。

$$\forall K > 0 \; \exists n_0 \in \mathbb{N} \;\forall n \in \mathbb{N}\;\bigg[n>n_0 \Longrightarrow a_n > K\bigg] $$

即ち、項数$n$を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値$a_n$が限りなく大きくなります。

演習2

以下の数列の収束性をグラフで確認しなさい。

  • $ a_n = \sin(n) $
  • $ a_n = \sin(n)/n $
In [ ]:
n=1:50;
a = sin(n) ./ n;
plot(n,a)
grid on

調和数列

実数$b (b>0)$に対して、数列$a(k)$を以下のように定義します。

$$ a(k)=\frac{1}{k^b}, \quad k=1,2,3,\cdots $$

数列$a(k)$による級数$\sum_{n=1}^\infty a(n) $を定義する。級数の第$n$部分和$S(n)$を以下の式で計算できます。

$$S(n) = \sum_{k=1}^n a(k) = 1+\frac{1}{2^b}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{4^b} + \cdots + \frac{1}{n^b}$$

特に、$b=1$の時、$\{a(k)\}$は調和数列となります。

演習3

  • $b=0.1, 0.5,1,2,4$に対して、数列$S(n)$ ($n=1,\cdots, 50$)のグラフを描いて、数列が収束しているがとうかを考察してください。
In [ ]:
b=1;
n=1:50;
a=1 ./ (n.^b);
S=[];
sum = 0;
for k=1:50
  sum = sum + a(k);
  S(k) = sum;
end
hold on
grid on
plot(a,'r--.')
plot(S,'b--+')

演習3の結論

(ここに書いてください。)

In [ ]: