数列への考察

計算機における計算によって、数列と数列の極限の概念を理解します。

復習 数列の極限の定義

$x$が数列$(x_n)$の極限であるとは、以下の条件が成り立つことをいう:
- 任意の実数$\epsilon> 0$に対して、ある自然数$N$が存在して、任意の自然数 $n>N$に対して、$|x_n-x| < \epsilon$が成り立つ。

1. 数列の単調性

数列の単調性を利用して、数列が収束しているがとうかを検討できます。

定理:

有界な単調数列は収束する。同じように、下界を持っている単調減少数列は収束する。

演習1

以下の2つ数列の単調性をグラフで確認しなさい。

補足:数列の作成方法

この演習での数列はfor文で作成できます。例えば、

a = [];
for k = 1:10
  a(k) = (1 + 1/k )^k;
end 

数列$a_n$の各成分とnの関係式を持っている場合、nによって$a_n$を一括で作成することができます。

n = 1:10;
a = (1 + 1 ./ n ) .^ n;

ここで、数列$n=1:10$の各成分によって、新しい数列を作成しています。特に、成分毎に計算する場合、演算子の前に、「.」を付けることが必要です。

補足:線分のグラフの描画

A=(x1,y1)とB=(x2,y2)2つの端点を持っている線分を描画するために、x座標のリストとy座標のリストを利用してます。

x1=0; y1=0;
x2=5; y2=1;
x_list = [x1,x2];
y_list = [y1,y2];
plot( x_list, y_list, '-o') 

演習1の補足

演習1のグラフに、(0,e), (50,e)という2つの端点を持っている線分を描いてください。

2. 発散する数列

$$\forall K > 0 \; \exists n_0 \in \mathbb{N} \;\forall n \in \mathbb{N}\;\bigg[n>n_0 \Longrightarrow a_n > K\bigg] $$

即ち、項数$n$を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値$a_n$が限りなく大きくなります。

演習2

以下の数列の収束性をグラフで確認しなさい。

調和数列

実数$b (b>0)$に対して、数列$a(k)$を以下のように定義します。

$$ a(k)=\frac{1}{k^b}, \quad k=1,2,3,\cdots $$

数列$a(k)$による級数$\sum_{n=1}^\infty a(n) $を定義する。級数の第$n$部分和$S(n)$を以下の式で計算できます。

$$S(n) = \sum_{k=1}^n a(k) = 1+\frac{1}{2^b}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{4^b} + \cdots + \frac{1}{n^b}$$

特に、$b=1$の時、$\{a(k)\}$は調和数列となります。

演習3

演習3の結論

(ここに書いてください。)