関数の積分

今回の授業では一次元の関数の積分を考えます。

復習

Wikipediaの定積分の定義を引用し、積分の概念を復習します。

実数直線上の区間 [a, b] 上で定義される実変数 x の関数 f の定積分 $$\int_a^b f(x) dx$$ は、略式的に言えば f のグラフと x-軸、および x = a と x = b で囲まれる xy-平面の領域の符号付面積として定義される。

定積分のイメージ

現代的な積分の概念はリーマン積分、ルベーグ積分などの考え方があります。今回の授業はリーマン積分の定義を考察します。

1. 積分の概念の導入

始めに、$x = 0$ から $x = 1$ までの間で $f(x)=\sqrt{x}+1$ によって与えられる曲線$y = f (x)$ を考え、 0 から 1 までの区間において $f$ の下にある領域の面積はいくらか という問いを立てて、この(未知の)面積を$f$の積分と呼んで

$$\int_{0}^{1}{\sqrt {x}}+1~ dx $$

で書き表す。

積分の例

ニュートンとライプニッツが提案した微分積分学の基本定理(17世紀)によりますと、上記の積分を$f(x)$の原始関数$F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+x$を利用することで算出できます。

$$\int_{0}^{1}{\sqrt {x}}+1dx = F(1) - F(0) = \frac{5}{3}$$

微分積分学の基本定理が発見されるまで、積分は微分とは関係ない「面積」という概念で理解されています。

2. 面積の近似方法

$f(x)=\sqrt{x}+1$ が$[0,1]$における積分の近似方法を考えます。

まず、曲線$y=f(x)$のグラフを描きます。

Step1:長方形によって、面積の上界と下界を定める

最初の近似として、0から1までの範囲で、x軸 $y = 0$と線分$y = f(1)=2$囲んでいる長方形領域は積分範囲をカーバーはしているので、当該長方形の面積$2$が目標積分の上界となります。

fill命令によって、該当長方形領域を緑色で塗りつぶします。

塗りつぶしの方法

fillを使って、幾つかの点が囲んでいる範囲を色で塗りつぶします。

使い方: fill(x座標のリスト, y座標のリスト, 色)

同じ考え方で、0から1までの範囲で、x軸 $y = 0$と線分$y = f(0)=1$囲んでいる長方形領域は積分範囲の一部となりますので、 当該長方形の面積$1$が目標積分の下界となります。

該当長方形領域を青色で塗りつぶします。

まとめ:

目標面積$S$が$1<S<2$を満たすことを確認しました。

Step2: $[0,1]$を2分割してから積分を近似する

$x = 0$, $x=0.5$, $x=1$における$f(x)$の値を利用して、面積の上界と下界を考えます。

まず、面積の下界をあける計算方法を考えます。

演習1 関数の積分に対応する領域をカーバーしている2つの長方形を色で塗りつぶしてください。

注意:??のある部分について、正しいいコードを書いてください。

上記のコードをコンパクトにするために、ブロックを塗りつぶす関数を定義します。

上記の2つの関数を利用して、グラフを再描画します。

演習 2

$[0,1]$の2分割で作成した青色の長方形と緑色の長方形の面積を計算しなさい。 ここで計算した面積はそれぞれ積分値の上界と下界となります。

演習 3:

$h=0.1$ とします。 節点のリスト$x=0:h:1$を利用して、面積の上界と下界となる長方形領域の集まりを描いてください。

Step 3. ブロックによる面積の近似計算

節点リスト$x=0, 0.5,1$における$f$の値を利用して、面積の上界と下界を算出できます。

節点の間隔をh=0.5とします。

面積の下界: $$ S1 = h\cdot [ \, f(0) + f(0.5)\, ] $$ 面積の上界: $$ S2 = h\cdot [ \, f(0.5) + f(1)\, ] $$

演習4

3. 一般的な関数の積分

演習5 (オプション)

この授業で紹介した方法を利用して、以下の関数が$[0,1]$における積分の近似値を計算してみてください。 分割の点で関数の値が発散する場合、分割の小区間の中点を使って計算してください。

注意:

関数の積分の上界と下界を得るために、関数の単調性は大切です。以下3番目と4番目の関数について、 分割の各部分区間$[x_i,x_{i+1}]$の上に関数の単調性を確保するために、区間の分割に工夫が必要です。

関数の単調性を調べるのは難しい場合、与えられる分割におけるリーマン和を計算して、リーマン和が収束しているかどうかを考察してください。

リーマン和

分割$x_0=0 < x_1 <x_2 < \cdots < x_n=1$に対して、$t_i$を$[x_i,x_{i+1}]$の中の点とします。たとえば、$t_i=0.5*(x_i+x_{i+1})$。この場合、リーマン和は以下のように計算できます。 $$ \sum^{n-1}_{i=0} f(t_i) (x_{i+1} - x_{i} ) $$

(参考:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%A9%8D%E5%88%86

参考

積分の厳密な定義(リーマン積分)

微分積分の授業で学んだリーマン積分は積分を厳密に定義します。その詳細は教科書またはWikipediaを参考してください。