二分法と方程式の根の計算

二分法

区間$(a,b)$上の関数$f$の根を計算するために、二分法が使用されます。

関数$f=x^3-2$を例にして、区間$(0,3)$の中で$f(x)=0$の解の計算方法を説明します。

まず、$y=f(x)$のグラフを書いておきます。

注意:

Step 1.

関数$f$のグラフを描く。

$a=0,b=3$にすると、$f(a)<0$, $f(b)>0$ が分かります。中間値の定理によって、$a$と$b$の間に$f(x)=0$の解が存在します。

Step 2

$$ f(a)\cdot f(p)<0 $$

Step 3.

新しい$a=0,b=1.5$について、中点$p$で$f(p)<0$ が分かります。また、$f(b)>0$であるので、以下のことが分かる。

$$ f(a)\cdot f(p)>0 \quad \mbox{すなわち} \quad f(b)\cdot f(p)<0 $$

中間値の定理によって、$p$と$b$の間に$f(x)=0$の解が存在します。

この場合、$a$を$p$にすると、新しい$(a,b)$で解の計算を進むことができます。

演習1

上記の計算を繰り返してすると、解の存在範囲を小さくすることができます。$a$と$b$が十分近いであれば、$(a+b)/2$が$f(x)=0$の近似解となれます。

注意:

ループを終了するとき、breakを使用すること。すなわち、

for k=1:100
   %ここで繰り返し計算のコードを書く。


  if (b-a)< 0.02
    break;
  end
end