次の $11$ 個の点に対して、正規方程式を解いて最小二乗法による線形回帰を行い、それらの点および求めた回帰直線（範囲は $0\leq x\leq 1$）を描画してください。
$$ (0,1.09),\quad (0.1,1.17),\quad (0.2,1.42),\quad (0.3,1.54), $$$$ (0.4,1.71),\quad (0.5,1.99),\quad (0.6,2.26),\quad (0.7,2.44), $$$$ (0.8,2.55),\quad (0.9,2.84),\quad (1,3.04) $$%plot --format svg
data = [0,1.09; 0.1,1.17; 0.2,1.42; 0.3,1.54; 0.4,1.71; 0.5,1.99; 0.6,2.26; 0.7,2.44; 0.8,2.55; 0.9,2.84; 1,3.04]; %点を並べた行列
n = size(data,1); %点の個数
plot(data(:,1),data(:,2),".") %点の描画
grid on
hold on
A = [ones(n,1),data(:,1)];
b = data(:,2);
c = (A'*A)\(A'*b); %正規方程式を解く
%実は「c = A\b」でもよい（https://jp.mathworks.com/help/matlab/math/systems-of-linear-equations.htmlを参照）
x = 0:0.01:1;
y = c(1)+c(2)*x;
plot(x,y) %回帰直線の描画
演習1と同じ $11$ 個の点に対して、統計量を用いた計算で最小二乗法による線形回帰を行い、それらの点および求めた回帰直線（範囲は $0\leq x\leq 1$）を描画してください。
ただし、統計量の計算には平均はmean(ベクトル)、分散はvar(ベクトル)、共分散はcov(ベクトル1,ベクトル2)を使用してよいです。
%plot --format svg
data = [0,1.09; 0.1,1.17; 0.2,1.42; 0.3,1.54; 0.4,1.71; 0.5,1.99; 0.6,2.26; 0.7,2.44; 0.8,2.55; 0.9,2.84; 1,3.04]; %点を並べた行列
plot(data(:,1),data(:,2),".") %点の描画
grid on
hold on
c2 = cov(data(:,1),data(:,2))/var(data(:,1)); %統計量を用いた計算
c1 = mean(data(:,2))-c2*mean(data(:,1));
x = 0:0.01:1;
y = c1+c2*x;
plot(x,y) %回帰直線の描画
節点
$$ x_i=-1+\frac{2(i-1)}{n-1}\quad (i=1,\ldots,n) $$を用いて関数
$$ f(x)=\frac{1}{1+25x^2} $$を $m-1$ 次以下の多項式
$$ g(x)=\sum_{j=1}^m c_j x^{j-1} $$で近似することを考えます。
$n=30,60$、$m=10,20$ を組み合わせた計 $4$ 個の場合について近似多項式を求め、元の関数 $f(x)$ とともに $-1\leq x\leq 1$ の範囲でグラフを描画してください。
%plot --format svg
function value = f(x) %関数f(x)
value = 1./(1+25*x.^2);
end
x = -1:0.01:1; %x座標の配列
y = f(x);
plot(x,y,"DisplayName","f(x)") %f(x)のグラフを描画
grid on
hold on
%2つのfor文でnとmの値を変化させる
for n = [30,60]
node = (-1:2/(n-1):1)'; %節点の配列（縦ベクトル）
for m = [10,20]
A = zeros(n,m);
for j = 1:m
A(:,j) = node.^(j-1); %行列Aの各列を計算
end
b = f(node); %縦ベクトルbを定める
c = (A'*A)\(A'*b); %正規方程式を解いて係数ベクトルcを求める
y = 0;
for j = 1:m
y = y+c(j)*x.^(j-1); %近似多項式を計算
end
plot(x,y,"DisplayName",["n=",num2str(n),", m=",num2str(m)]) %近似多項式のグラフを描画
end
end
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