2022年度計算機演習A・B

第9回：NumPyの使用

1. NumPyとは

NumPy（ナンパイまたはナムパイと読む、Numerical Pythonに由来）は、数値計算を効率的に行うためのPythonの有名なライブラリです。

一般にライブラリを使用する際は

import ライブラリ名 as 別名

のように書くことを以前に学習しましたが、NumPyは慣例的に次のようにインポートします。

import numpy as np

これで、np.関数名(...)の形で、NumPyに用意された様々な関数を使えるようになります。

NumPyにおいて中心となるのは、Pythonの通常のリストを拡張した概念である多次元配列です。以下では、その使い方について詳しく見ていきます。

2. NumPyの多次元配列

2.1. 多次元配列の作成

NumPyの多次元配列を作成するには、関数np.arrayを使用します。

x = np.array([1,2,3,4,5])  #1次元配列（数列、ベクトル）
print(x)

print(type(x))  #オブジェクトの型
print(x.shape)  #形状
print(x.ndim)   #次元
print(x.size)   #要素数

[1 2 3 4 5]
<class 'numpy.ndarray'>
(5,)
1
5

y = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])  #2次元配列（行列）
print(y)

print(type(y))  #オブジェクトの型
print(y.shape)  #形状
print(y.ndim)   #次元
print(y.size)   #要素数

[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
<class 'numpy.ndarray'>
(3, 3)
2
9

z = np.array([[[1,1],[1,1]],[[2,2],[2,2]]])  #3次元配列（今後は登場しないので、参考程度に）
print(z)

print(type(z))  #オブジェクトの型
print(z.shape)  #形状
print(z.ndim)   #次元
print(z.size)   #要素数

[[[1 1]
  [1 1]]

 [[2 2]
  [2 2]]]
<class 'numpy.ndarray'>
(2, 2, 2)
3
8

ここで、shape、ndim、sizeはそれぞれ、NumPyの多次元配列がもつ属性（オブジェクトと結びついた値）です。

また、特殊な1次元配列として、等差数列（区間の等分割）を作成する関数np.linspaceが用意されています。

x = np.linspace(0,1,11)  #np.linspace(a,b,n)：aからbまで要素数nの等差数列
print(x)

[0.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. ]

2.2. 要素へのアクセス

配列の要素（成分）へのアクセスは、次のように角括弧[]を用いて行います。リストと同様に、番号は1ではなく0から数えることに注意してください。

x = np.array([1,2,3,4,5])
print(x)

print(x[1])  #1番目の要素

x[0] = 10  #0番目の要素の変更
print(x)

[1 2 3 4 5]
2
[10  2  3  4  5]

A = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
print(A)

print(A[1,1])  #1行目1列目の要素
print(A[0,:])  #0行目（「:」は全てを意味する、A[0]でも同じ）
print(A[:,2])  #2列目（「:」は全てを意味する）

A[:,2] = 0  #2列目の変更
print(A)

[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
5
[1 2 3]
[3 6 9]
[[1 2 0]
 [4 5 0]
 [7 8 0]]

2.3. 要素の一括計算

NumPyの配列に対して次のように加減乗除などを行うと、要素ごとの計算を一括で行うことができます。

A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[2,3],[4,5]])
print(A)
print(B)

print()

print(A+B)   #要素ごとに和をとる
print(A-B)   #要素ごとに差をとる
print(A*B)   #要素ごとに積をとる（行列としての積ではない）
print(A/B)   #要素ごとに商をとる（逆行列は関係ない）
print(2*A)   #要素ごとにスカラー倍する
print(A**2)  #要素ごとにべき乗する（行列としてのべき乗ではない）

[[1 2]
 [3 4]]
[[2 3]
 [4 5]]

[[3 5]
 [7 9]]
[[-1 -1]
 [-1 -1]]
[[ 2  6]
 [12 20]]
[[0.5        0.66666667]
 [0.75       0.8       ]]
[[2 4]
 [6 8]]
[[ 1  4]
 [ 9 16]]

さらに、NumPyに用意された数学関数を用いると、配列の要素ごとの関数値を一度に求めることができます。

（mathライブラリの数学関数ではそのようなことはできず、エラーになります。）

A = np.array([[-1,1],[-2,2]])
print(A)

print()

print(np.sin(A))  #要素ごとにsinの値を計算する
print(np.cos(A))  #要素ごとにcosの値を計算する
print(np.exp(A))  #要素ごとにeを底とする指数関数の値を計算する
print(np.abs(A))  #要素ごとに絶対値を計算する

[[-1  1]
 [-2  2]]

[[-0.84147098  0.84147098]
 [-0.90929743  0.90929743]]
[[ 0.54030231  0.54030231]
 [-0.41614684 -0.41614684]]
[[0.36787944 2.71828183]
 [0.13533528 7.3890561 ]]
[[1 1]
 [2 2]]

これを利用すると、第6回の授業では少し手間が掛かっていた関数のグラフの描画を、簡潔なコードで行うことができます。

import matplotlib.pyplot as plt  #グラフの描画のためのライブラリ

x = np.linspace(0,2*np.pi,101)  #np.piは円周率
y = np.sin(x)

plt.plot(x,y,"-",label="$y=\sin x$")  #折れ線グラフの描画
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

演習1

次の関数のグラフを描画してください。

$$ y=\sin x^3 \cos x+1, \quad 1\leq x\leq 2 $$

#演習1のコード
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#ここに、コードを書く

2.4. 行列の演算

NumPyの2次元配列は、行列に対応しています。要素ごとの加減乗除などの計算については上で説明しましたが、他にも以下のような行列特有の演算が可能です。

A = np.array([[1,2],[3,4]])
print("A=\n",A)

print("Aの転置行列\n",A.T)
print("Aのトレース（対角和）\n",A.trace())
print("Aの行列式\n",np.linalg.det(A))
print("Aの逆行列\n",np.linalg.inv(A))

print()

b = np.array([[1],[1]])
print("b=\n",b)

print("Aとbの積\n",A@b)

A=
 [[1 2]
 [3 4]]
Aの転置行列
 [[1 3]
 [2 4]]
Aのトレース（対角和）
 5
Aの行列式
 -2.0000000000000004
Aの逆行列
 [[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]

b=
 [[1]
 [1]]
Aとbの積
 [[3]
 [7]]

演習2

次の行列 $A$ とベクトル $b$ に対して、方程式 $Ax=b$ の解 $x$ を求めてください。

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} ,\quad b= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} $$

#演習2のコード
import numpy as np

#ここに、コードを書く
#逆行列np.linalg.inv(A)を用いればよい

第9回レポート課題

演習1～演習2に取り組んでください。