フィボナッチ数列

授業担当:劉雪峰

1. 数列の定義と作成

フィボナッチ数列(Fibonacci sequence)は、次のように再帰的に定義されます。

フィボナッチ数列の項を具体的に書くと、 $$ 1,1,2,3,5,8,13, \cdots $$

フィボナッチ数列と兎の問題

フィボナッチ数列は、以下の兎の問題に例えられることが多いです。
  • 1つがいの兎は、産まれて2か月後から毎月1つがいの兎を産む。
  • 兎が死ぬことはない。
  • この条件のもとで、産まれたばかりの1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか?
毎月のつがい数(F(n))について、これまでにいる兎(前月のつがい数=F(n-1))+2ヶ月前の兎が新しく産む兎(2ヶ月前のつがい数=F(n-2))となっています。即ち、$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$です。よって、フィボナッチ数列が現れていることがわかります。

フィボナッチ数列を作成するプログラム

フィボナッチ数列の第10項まで作成してみます。

演習 1

$N=10,15,20,25$に対して数列を考察しなさい。

以下のことを考えてください。

$$f(x)=x^a, f(x)=a^x, f(x)=\log(x)$$

2. フィボナッチ数列の式を推定する

以下のコードでは、数列Fのlog値を計算してグラフを描いています。$\log(F)$のグラフはどのような関数のグラフに近いでしょうか?

演習 2

$$ \log(F_n)\approx a\times n+b $$ $$ \log(F_n)\approx a \times n+b \Rightarrow F_n \approx \exp(a)^n \times \exp(b) $$ $$ \mbox{黄金比}=\frac{\sqrt{5}+1}{2} $$

補足 1:多くの点に当てはまる直線 y=ax+b の係数 a と b を求める方法

良さそうな$a,b$に対応する直線$y=ax+b$のグラフを描いて、それを$n$ ~ $\log(F_n)$のグラフと比較し、より良い近似になる係数$a,b$の値を見つけます。

例えば、「$a=0.45,b=-0.40$」に対応する直線のグラフを描いてみます。 係数$a,b$の値を調整しながら、もっと良い$a,b$の値を推定してください。

補足 2:2点を通る直線 y=ax+b の係数 a と b を求める方法

2点$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$を通る直線を求めます。

$$ y = y_1 + (x-x_1)\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \left(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \right) x + \left( y_1 -x_1 \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \right) $$

よって、2点の座標を使って、$y=ax+b$の係数$a,b$を求めることができます。

3. [オプション] 最小二乗法による点列に当てはまる直線の計算方法

最小二乗法とは

与えられた点列$(x_i,y_i)_{i=1}^N$に対して、一次関数$y=ax+b$を用いた良い近似となるように、残差の二乗和を最小とするような係数を決定する方法です。

定式化

数式で考えるとき、以下の式を最小化する$a,b$を求める問題となります。

$$ V(a,b)=\sum_{i=1}^N (ax_i + b - y_i)^2 $$

解法

行列を利用して、上記の最小化問題を考えます。

$$ \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_N \end{array}\right),\quad \mathbf{y}=\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_N \end{array}\right) $$$$ V(a,b)= (a \mathbf{x} + b - \mathbf{y})^T ( a \mathbf{x} + b - \mathbf{y}) $$

さらに、以下の$A$と$\alpha$を定義します。 $$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc} x_1 & 1 \\ x_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ x_N & 1 \end{array}\right),\quad \alpha = \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right) $$ このとき、$a \mathbf{x} + b = A\alpha $なので、

$$ V(\alpha)=(A \alpha - \mathbf{y})^T ( A \alpha- \mathbf{y}) $$

2変数関数$V(\alpha)$が最小値を取るとき、$V$の$\alpha=(a,b)$に関する微分は$0$になります。即ち、以下の式が成り立ちます。

$$ (A^TA) \alpha - A^T \mathbf{y} = 0 $$

$A^TA$が正則であれば、$\alpha$を次のように算出できます。

$$ \alpha = (A^TA)^{-1} (A^T\mathbf{y}) $$

演習 3(オプション)

1) 以下の点列に対して、点列に当てはまる直線$y=ax+b$を求めなさい。

2) $n$~$\log(F_n)$のグラフに当てはまる直線を求めなさい。

以下は演習3の解答例です。

4. [オプション] フィボナッチ数列の式を求める

$F_n$の式を推定(1)

$F_n = cr^n$を仮定して、この式を$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$に代入すると、$r$に関する方程式が得られます。

$$ r^2=r+1 $$

よって、 $$ r=\frac{1+\sqrt{5} }{2}, \quad r=\frac{1-\sqrt{5} }{2} $$

数列$F_n$は無限大に発散するので、$r$は正の値を取ります。よって、 $$ F_n = c \left[\frac{1+\sqrt{5} }{2}\right]^n $$ 上記の式はフィボナッチ数列になりませんが、フィボナッチ数列の主要項となります。

$F_n$の式を推定(2)

$Z_n:=F_n - c \left[ \frac{1+\sqrt{5} }{2}\right]^n$を考察します。

$Z_n$は次の式を満たします。

$$ Z_n =Z_{n-1} + Z_{n-2} $$

よって、 $Z_n$も以下の形式を持っていると推定できます。 $$ Z_n = \tilde{c} \tilde{r}^n $$ この式を満たす$\tilde{r}$は$\tilde{r}^2=\tilde{r}+1$の解となりますので、 $$ \tilde{r} = \frac{1-\sqrt{5} }{2} $$ よって、$F_n$に関して新しい式が考えられます。 $$ F_n = c \left[ \frac{1+\sqrt{5} }{2} \right] ^n + \tilde{c} \left[\frac{1-\sqrt{5} }{2}\right]^n $$ 条件$F_1=1,F_2=1$を利用すると、以下のことが分かります。

$$ c = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \tilde{c} = - \frac{1}{\sqrt{5}} $$

即ち、

$$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left[ \frac{1+\sqrt{5} }{2} \right] ^n - \left[\frac{1-\sqrt{5} }{2}\right]^n \right) $$

5. コーヒーブレイク

フィボナッチ数列によるゴールデン・スパイラルの図を描く。Nを他の値にしてグラフを描いてみよう。 <!-- N=8; F=[1,1]; for k=3:N F(k) = F(k-1) +F(k-2); end

x_indx=[-(-1).^(1:(N/2));(-1).^(1:(N/2))]; y_indx=[-(-1).^(1:(N/2));-(-1).^(1:(N/2))];

x=[0];y=[0];

hold on text( -1,0.3, '1'); for k=1:N-1 x(k+1)=x(k) + x_indx(k)F(k+1); y(k+1)=y(k) + y_indx(k)F(k+1); x1 = min(x(k), x(k+1)); x2 = max(x(k), x(k+1)); y1 = min(y(k), y(k+1)); y2 = max(y(k), y(k+1)); x_list = [x1,x2,x2,x1,x1]; y_list = [y1,y1,y2,y2,y1]; fill(x_list(1:4), y_list(1:4),k-1); plot(x_list, y_list,'-'); plot([x(k),x(k+1)],[y(k),y(k+1)],'-'); text( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2, num2str(F(k+1))); end daspect ([1 1]) -->

Created by Xuefeng LIU, 2017/04/23, modified on 2018/04/22.

The original matlab code is revised to python language by Wada Kaoru. 2020/04

計算機演習A・Bのノート 授業担当:劉雪峰