数列の考察

計算機を利用した計算によって、数列とその極限の概念を理解します。

復習 数列の極限の定義

$x$が数列$\{x_n\}$の極限であるとは、以下の条件が成り立つことをいう:
任意の実数$\epsilon> 0$に対して、ある自然数$N$が存在して、任意の自然数 $n>N$に対して、$|x_n-x| < \epsilon$が成り立つ。

1. 数列の単調性

数列の単調性を利用して、数列が収束するかどうかを検討できます。

数列に関する基本定理:

上に有界な単調増加数列は収束する。同様に、下に有界な単調減少数列は収束する。

演習1

以下の2つの数列の単調性をグラフで確認しなさい。

$$ a_n = \;\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n} $$ $$ b_n = \;\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n+1} $$

補足:数列の作成方法

この演習での数列はfor文で作成できます。例えば、以下の例は1から10番目までの数列を作成します。

n_list=range(1,11)
a=[]
for n in n_list:
    a.append(pow(1+1/n,n))

演習1:以下のコードを実行してください。

補足:線分の描画

2つの端点$A=(x1,y1)$と$B=(x2,y2)$を持つ線分を描画するために、x座標のリストとy座標のリストを使用します。

Pythonでは改行すると別の文と見なされますが、1行に複数の文を書きたいときにはセミコロンで区切ります。

演習1の補足演習

演習1のグラフに、点(0,e)と点(50,e)という2つの端点を持つ線分を描いてください。ここで、$e$はネイピア数です。即ち

$$ e = 2.71828 18284 \cdots $$

2. 発散する数列

$$\forall K > 0 \; \exists n_0 \in \mathbb{N} \;\forall n \in \mathbb{N}\;\bigg[n>n_0 \Longrightarrow a_n > K\bigg] $$

即ち、項番号$n$を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値$a_n$が限りなく大きくなります。

演習2

以下の数列の収束性をグラフで確認しなさい。下のコードでは$a_n$が既に用意されていますが、$b_n$を自分で作成してください。

ここで、数学関数$\sin(x)$を使用するためには、import mathmath.sin(x) の使用が必要です。

3. 級数と調和数列

実数$p$ ($p>0$)に対して、数列$\{a(k)\}$を以下のように定義します。

$$ a(k)=\frac{1}{k^p}, \quad k=1,2,3,\cdots $$

数列$\{a(k)\}$による級数$\sum_{n=1}^\infty a(n) $を定義します。級数の第$n$部分和$S(n)$は以下の式で計算できます。

$$S(n) = \sum_{k=1}^n a(k) = 1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p} + \cdots + \frac{1}{n^p}$$

特に$p=1$の時、$\{a(k)\}$は調和数列になります。

演習3

演習3の補足演習

演習3の2において、コード

for a in a_list:

for k in range(50):

に変えて、それに応じてループの中身を修正してみてください。

演習3の結論

(ここに書いてください。)