レポート課題の解答例

2021年5月9日 池 浩一郎

級数と調和数列

実数$p$ ($p>0$)に対して、数列$\{a(k)\}$を以下のように定義します。

$$ a(k)=\frac{1}{k^p}, \quad k=1,2,3,\cdots $$

数列$\{a(k)\}$による級数$\sum_{n=1}^\infty a(n) $を定義します。級数の第$n$部分和$S(n)$は以下の式で計算できます。

$$S(n) = \sum_{k=1}^n a(k) = 1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p} + \cdots + \frac{1}{n^p}$$

特に$p=1$の時、$\{a(k)\}$は調和数列になります。

演習3

次のコードでは、全てのグラフを一つの図に描いてみます。labelとlegendを組み合わせて使用することで、各曲線にラベルを付けることができます。

調和級数の発散について

$p=1$のとき、$\{S_n\}$が発散することを証明してみます。

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} + \cdots = 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots $$

ここで、以下の不等式に注意してください。 $$ \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$

$$ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} \ge \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} = \frac{1}{2} $$

よって、

$$ \lim_{n\to \infty}S(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ge 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots = \infty $$

一般の$p$に対する級数の収束・発散について

$0<p\le 1$のとき、$\{S_n\}$は発散します。また、$p>1$のとき、$\{S_n\}$は収束します。この結果について、以下の関数の積分を利用して証明することができます。その詳細はここでは省略します。